두 곡선 \(y=2^x,\ y=\log_2x\) 사이에 있고 \(1\lt x\lt4\)인 점 중 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하는 과정을 논술하시오. (단, 곡선 위의 점은 제외한다.)

\(\sqrt{\log_2n}\)이 자연수가 되도록 하는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 \(p\), \(\log_3n\)의 정수 부분이 \(2\)인 자연수 \(n\)의 개수를 \(q\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

\(0\le x\lt2\pi\)에서 방정식 \(\sin^2x+2\cos x=k\)가 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 값의 범위를 구하고, \(k=1\)일 때 모든 해의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

세 변의 길이가 \(3, 5, 7\)인 삼각형의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)를 구하는 과정을 논술하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1\)이고 \(a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{이 짝수})\\ a_n+5 & (a_n\text{이 홀수})\end{cases}\)를 만족시킬 때, \(a_{50}\)과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50}a_k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(f(x)=x^2-4x+3\)과 상수 \(a\)에 대하여 \(g(x)=\begin{cases}1 & (x\ge a)\\ -1 & (x\lt a)\end{cases}\)라 하자. \(h(x)=f(x)g(x)\)가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 \(a\)의 값을 모두 구하고, 각 경우 \(\displaystyle\int_0^4h(x)\,dx\)의 값 중 최댓값을 구하는 과정을 논술하시오.

\(f(x)=x^4-2x^2\)에 대하여 \(g(x)=|f(x)-k|\)가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하고, \(k=0\)일 때 \(g(x)\)가 미분가능하지 않은 점의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

양수 \(a\)에 대하여 \(f(x)=x^3-3a^2x\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, \(a\)의 값을 구하고 방정식 \(|f(x)|=8\)의 서로 다른 실근의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

곡선 \(y=x^2-4\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y=k\,(-4\lt k\lt0)\)가 이등분할 때, \(k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(g(x)=\displaystyle\int_x^{x+2}|t-2|\,dt\)의 최솟값과 그때의 \(x\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.